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Wissenschaftliche Berichte Band 12, Artikelnummer: 19097 (2022) Diesen Artikel zitieren

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Die Röntgen-Computertomographie (CT) ist eine kommerziell etablierte Methode zur Bildgebung großer Objekte wie Passagiergepäck. CT kann die Dichte und die effektive Ordnungszahl ermitteln, was nicht immer ausreicht, um Bedrohungen wie Sprengstoffe und Drogen zu identifizieren, da sie eine ähnliche Zusammensetzung wie harmlose Kunststoffe, Glas oder Leichtmetalle haben können. In diesen Fällen ist die Röntgenbeugung (XRD) möglicherweise besser geeignet, um die Bedrohungen zu erkennen. Leider ist der gebeugte Photonenfluss typischerweise viel schwächer als der durchgelassene. Die Messung hochwertiger XRD-Daten ist daher im Vergleich zur CT langsamer, was für potenzielle Kunden wie Flughäfen eine wirtschaftliche Herausforderung darstellt. In diesem Artikel analysieren wir numerisch ein neuartiges, kostengünstiges Scannerdesign, das CT- und XRD-Signale gleichzeitig erfasst und die geringstmögliche Kollimation verwendet, um den Fluss zu maximieren. Um ein realistisches Instrument zu simulieren, schlagen wir ein Vorwärtsmodell vor, das die auflösungsbegrenzenden Effekte des polychromatischen Spektrums, des Detektors und aller geometrischen Faktoren endlicher Größe berücksichtigt. Anschließend zeigen wir, wie man XRD-Muster aus einem großen Phantom mit mehreren beugenden Objekten rekonstruiert. Wir berücksichtigen ein angemessenes Maß an Photonenzählrauschen (Poisson-Statistik) sowie einen Messfehler (inkohärente Streuung). Unsere XRD-Rekonstruktion fügt materialspezifische Informationen, wenn auch in geringer Auflösung, zum bereits vorhandenen CT-Bild hinzu und verbessert so die Bedrohungserkennung. Unser theoretisches Modell wird in GPU-beschleunigter Software (Graphics Processing Unit) implementiert, die zur weiteren Optimierung von Scannerdesigns für Anwendungen in den Bereichen Sicherheit, Gesundheitswesen und Qualitätskontrolle in der Fertigung verwendet werden kann.

Die Röntgen-Computertomographie (CT) basiert auf der Messung der Röntgentransmission über einen großen interessierenden Bereich (ROI), beispielsweise einen Koffer bei Sicherheitskontrollen am Flughafen. Nachdem diese Messung aus mehreren Winkeln durchgeführt wurde, ist es möglich, die 3D-Dichte des Objekts mathematisch zu rekonstruieren. Mit der Multienergie-CT können wir auch die durchschnittliche Zusammensetzung (effektive Ordnungszahl) in 3D ableiten. Unglücklicherweise für Sicherheitsanwendungen können die Dichte und die Atomzahl gefährlicher Materialien (Drogen, Sprengstoffe) denen harmloser Metalle, Keramiken und Kunststoffe sehr ähnlich sein. Ein viel spezifischerer Materialfingerabdruck kann mithilfe der Röntgenbeugung (XRD) gemessen werden. Es reagiert sehr empfindlich auf die räumliche Anordnung der Atome, die in Tausenden verschiedener Materialien sehr unterschiedlich ist. XRD eignet sich besonders gut zur Identifizierung von Kristallen, da ihre periodische Struktur zu sehr scharfen Beugungspeaks führt. Dies ist für Sicherheitsüberprüfungen von Vorteil, da es sich bei vielen Bedrohungen tatsächlich um Kristalle, kristalline Pulver oder halbkristalline Verbundmaterialien (kristallines Methamphetamin, Kokain und übliche Sprengstoffe wie TNT und RDX) handelt.

Die Fähigkeit, ein Material zu identifizieren, hängt von der Auflösung des rekonstruierten Beugungsmusters ab. Die Auflösung kann durch eine enge Kollimation sowohl räumlich als auch im Hinblick auf das Röntgenenergiespektrum erhöht werden. Der Nachteil der Kollimation ist der Verlust des Photonenflusses1, der dann lange Messzeiten zum Ausgleich erfordert. Ein vernünftiger Kompromiss zwischen Auflösung und Fluss ist daher der Schlüssel für einen wirtschaftlich rentablen Scanner. Es gibt auch Überlegungen zur räumlichen Auflösung, die jedoch für Sicherheitsanwendungen weniger wichtig ist, bei denen das Ziel darin besteht, die schwerwiegendsten Bedrohungen wie einen Koffer voller Pfunde eines Sprengstoffs oder einer Droge zu erkennen. Kleine Mengen von Bedrohungen oder eine Vielzahl verschiedener kleiner Bedrohungen im selben Koffer würden den Rahmen dieser Untersuchung sprengen. Wir konzentrieren uns daher auf die Auflösung des Beugungsmusters und nicht auf die räumliche Auflösung, sofern nicht ausdrücklich anders angegeben.

Ein Beispiel für eine gute Auflösung, die in einer realen Flughafensicherheitsumgebung erzielt wird, ist in Ref. 2 beschrieben. Ihr Arbeitsablauf besteht aus zwei Maschinen: zunächst einem CT-Scan (Computertomographie), um potenzielle Bedrohungsobjekte zu kennzeichnen, und dann einem zweiten Durchgang durch ein Röntgendiffraktometer, um eine spezifischere Materialsignatur zu liefern. Um das XRD-Muster eines Objekts mit hoher Auflösung zu messen, haben die Autoren die Röntgenstrahlöffnung auf eine dünne Bleistiftform beschränkt und vor ihrem Detektor Kollimatoren hinzugefügt, sodass dieser nur einen engen Bereich von Streuwinkeln akzeptiert. Mit einer Röntgenröhre mit 1,6 kW haben die Autoren innerhalb von 53 Tagen 4182 Passagiergepäckstücke gescannt, also 3–4 Gepäckstücke pro Stunde. Ein ähnliches zweistufiges System, XRD 3500, wurde auf mehreren Flughäfen kommerziell eingesetzt3. Darüber hinaus wurde von Halo Technologies4 ein weiteres Design mit einer Kegelstrahlquelle patentiert. Ungeachtet dieser frühen Erfolgsgeschichten sind weitere Verbesserungen bei Geschwindigkeit, Kosten und Genauigkeit erforderlich, damit die XRD-Tomographie in großem Umfang in der kommerziellen Luftfahrt eingesetzt werden kann.

Der Hauptweg zur Erhöhung des Photonenflusses besteht darin, das Ausmaß der Kollimation zu verringern, obwohl dies zu einem Verlust an Auflösung des gemessenen Beugungsmusters führt. Die Auflösung kann teilweise mithilfe von Rechentechniken wiederhergestellt werden, die Beugungsdaten kombinieren, die bei unterschiedlichen Röntgenenergien und von mehreren Quellen-Detektor-Positionen in Bezug auf die Region of Interest (ROI) aufgenommen wurden. Zur Rekonstruktion von XRD-Mustern wurden verschiedene mathematische und statistische Ansätze eingesetzt. Beispielsweise hat Ref. 5 im Fall sehr geringer Photonenzahlen, die für die medizinische Brustbildgebung erforderlich sind, gezeigt, dass die Maximierung der Poisson-Likelihood eine bessere XRD-Rekonstruktionsqualität im Vergleich zur gefilterten Rückprojektion (FBP) liefert, deren Hauptvorteil wiederum rechnerischer Natur ist Geschwindigkeit6.

Für die XRD-Bildgebung scheint zumindest ein gewisses Maß an Kollimation unvermeidlich zu sein, und in der Literatur wurden verschiedene Optionen diskutiert, darunter Abgrenzung, codierte Aperturen und Kombinationen davon. Ref.7 hat eine Fächerstrahlgeometrie in Verbindung mit senkrecht zur Fächerebene kollimierten Detektoren verwendet. Diese Geometrie wird manchmal als „XRD-CT der dritten Generation“ bezeichnet und wurde in Ref. 8 experimentell verifiziert. Die Rekonstruktion einer Schicht führt zu einem \((1+2)\)-dimensionalen Bild, dh das eindimensionale Beugungsmuster wird in einer zweidimensionalen Ebene aufgelöst. Dieses System wurde patentiert, siehe Ref.9.

Auch mit dünnen Bleistiftstrahlquellen wurden angemessene Geschwindigkeiten für die XRD-Tomographie nachgewiesen, insbesondere wenn sie das gesamte polychromatische Spektrum nutzen und eine ziemlich offene codierte Apertur vor dem Detektor aufweist, siehe Ref. 10. In Ref. 11 haben die Autoren sogar einen monochromatischen Bleistiftstrahl verwendet, aber der geringe Fluss wurde durch die Kombination von CT- und XRD-Rekonstruktionen in einem einzigen kantenerhaltenden Algorithmus ausgeglichen und erzwang, dass die Beugungsmuster für jedes Objekt im Phantom konstant waren. In einer nachfolgenden Studie, Ref. 12, verwendeten dieselben Autoren eine codierte Apertur anstelle von Detektorkollimatoren, was den Fluss erhöhte, aber die Auflösung verringerte. Um eine akzeptable Auflösung aufrechtzuerhalten, haben die Autoren die Bedeutung der Bildsegmentierung sowie die Verwendung von Multienergie-CT-Informationen betont, um die Dämpfung entlang der gebeugten Strahlwege besser zu berücksichtigen.

In Ref. 13 haben die Autoren mithilfe eines polychromatischen Fächerstrahls gleichzeitig CT- und XRD-Signale gemessen. Der energieauflösende Detektor wurde kollimiert, um die Auflösung auf Kosten des Flusses zu erhöhen. Die rekonstruierten XRD-Muster weisen eine einigermaßen hohe Qualität auf, obwohl in der Arbeit die benötigte Messzeit nicht erwähnt wird.

Ein noch größerer Fluss kann erreicht werden, indem Detektorkollimatoren durch eine codierte Apertur ersetzt werden, Ref. 14. In dieser Studie wurden nur zwei Ansichten pro Scan (Schnappschuss-Tomographie) verwendet und ein einzelnes Wasserfläschchen abgebildet. Alternativ kann die Bildgebungszeit um den Faktor 6 reduziert werden, wenn die Beugung nur aus einem kleinen Bereich der beleuchteten Schicht rekonstruiert werden muss, siehe Ref. 15. Diese Beispiele mit Wasser zeigen, dass die XRD-Tomographie nicht nur für kristalline Materialien, sondern auch für Flüssigkeiten möglich ist. In Ref.16 haben die Autoren Beugungsmuster eines Phantoms rekonstruiert, das Wasser, Fett, Kollagen und Tricalciumphosphat (ein Knochenersatz) enthält. Solche von der Biologie inspirierten Materialien sind eher amorph als kristallin, daher sind ihre Beugungsmuster recht glatt. Dennoch konnte die XRD-Rekonstruktion deutlich zwischen ihnen unterscheiden.

Eine andere Art von Blende, ein Gitterinterferometer, wurde verwendet, um das Dunkelfeldbild basierend auf der Transmission harter Röntgenstrahlung zu messen17. Merkmale mit einem stärkeren Streuquerschnitt (Knochen) erscheinen im Vergleich zu einem Standard-Röntgenbild heller als die schwach streuenden Bereiche (Fleisch). Auf Kosten des Flussmittels wurde die Bildqualität gegenüber der CT verbessert, die Ergebnisse sind jedoch nicht so materialspezifisch wie die XRD.

Neue Bildgebungsmodalitäten für die XRD-Tomographie wurden durch kontinuierliche Verbesserungen der Röntgenröhrentechnologien18 sowie die zunehmende Verfügbarkeit pixeliger und energieauflösender Detektoren19 ermöglicht. Zur Sprengstoffdetektion bietet Ref. 20 eine detaillierte Einführung in die kohärente Streu-Computertomographie, die energiedispersive Röntgenbeugungstomographie sowie die Compton-Rückstreubildgebung. Bei der Erörterung der Zukunftsaussichten weist Ref.21 auf Multifokus-Röntgenquellen (MFXS) hin, bei denen ein einzelner Elektronenstrahl auf mehrere Anoden abgelenkt wird, wodurch bewegliche Teile vermieden werden, was zu einer Erhöhung der Scangeschwindigkeit und einem geringeren Wartungsaufwand beitragen dürfte Kosten. Referenz22 zeigt die Bedeutung der Energieauflösung des Detektors. Sie haben ihren CdTe-Detektor charakterisiert und herausgefunden, dass seine relative Energieempfindlichkeit bei einer Impulsübertragung von 2,5 nm\(^{-1}\) etwa 6 % beträgt. Multienergie-Detektoren werden aktiv weiterentwickelt, um beispielsweise bei hohem Photonenfluss, der ein Problem für die CT-Übertragung darstellen kann, einsetzbar zu sein23. Während die Transmissions-CT im Hochenergiebereich von 30–180 keV arbeitet, würde die Beugungstomographie von niedrigeren Energien profitieren, die zu größeren Abständen der Beugungspeaks führen und somit eine höhere Auflösung des Beugungsmusters ermöglichen. Darüber hinaus besteht keine Gefahr einer Sättigung der XRD-Detektoren durch hohen Fluss. Stattdessen wäre eine bessere Energieauflösung sehr zu begrüßen, da sie sich direkt auf die Qualität der XRD-Rekonstruktion auswirkt.

Spezielle Synchrotronanlagen nutzen routinemäßig die XRD-Tomographie, um Messungen verschiedener Proben, beispielsweise polykristalliner Körner, mit sehr hoher Auflösung zu erhalten, siehe Ref. 24. Diese Qualität wird durch den sehr hohen Fluss und die intrinsische Kollimation der Synchrontron-Röntgenstrahlen ermöglicht. Eine zusätzliche Fokussierung kann mit Röntgenoptiken wie zusammengesetzten refraktiven Linsen (CRL) oder Kirkpatrick-Baez-Spiegeln (KB) erreicht werden, aber sie alle erfordern ein Hochvakuum und viel Platz, \({\mathcal{O}}(10 \,{\text{m}})\), die in den Sicherheitseinstellungen des Flughafens nicht ohne weiteres verfügbar sind. Mit der XRD-Mikrotomographie können räumlich aufgelöste Beugungsmuster verschiedener technischer Materialien, beispielsweise Beton, sichtbar gemacht werden, siehe Lit. 25. Die Auflösung ihrer Messung ist sowohl räumlich als auch entlang der Beugungsmusterachse ausgezeichnet. Es wurde jedoch ein sehr teurer Teilchenbeschleuniger (eine Synchrotronanlage) verwendet, und selbst dann dauerte die Aufnahme 8 Stunden.

Bisher wurde die XRD-Tomographie im Sicherheitsbereich noch nicht in großem Umfang kommerziell eingesetzt. Die Haupthindernisse sind Zeitaufwand und Kosten für die Bildgebung. Dennoch ist die XRD-Bildgebung ein lohnendes Unterfangen, da sie Materialien mit einer viel höheren Spezifität unterscheiden kann als alle anderen derzeit verwendeten Modalitäten. Insgesamt besteht ein Kompromiss zwischen Geschwindigkeit, Kosten und Auflösung des Systems. Unser Ziel in dieser theoretischen Arbeit ist es, eine vernünftige Balance zwischen diesen konkurrierenden Zielen zu finden und zu zeigen, wie wertvoll das Gesamtdesign in der Praxis sein könnte.

In diesem Artikel stellen wir ein wirtschaftlich vielversprechendes Design für die XRD-Tomographie in der Flughafensicherheit vor. Eine wichtige Anforderung besteht darin, die XRD-Scanzeit zu verkürzen, um mit der bereits weit verbreiteten CT-Modalität gleichzuziehen und gleichzeitig die Kosten für neue Hardware auf ein Minimum zu beschränken. Aufgrund dieser praktischen Einschränkungen ist die Auflösung von XRD-Daten begrenzt, aber immer noch aussagekräftiger als die CT allein. Bei der Multienergie-Bildgebung kann die CT höchstens zwei Zahlen zu jedem Material liefern, beispielsweise die Dichte und die effektive Ordnungszahl. Wenn die XRD-Modalität in der Lage wäre, mindestens einen zusätzlichen Parameter pro Material zu liefern, würde dies bereits zu einer deutlichen Verbesserung der Fähigkeit zur Bedrohungserkennung führen. Hier geht es uns nicht um die Rechengeschwindigkeit, da der Preis für Computerhardware wie GPUs (Graphics Processing Units) und Cloud-Dienste weiter sinkt, während der Preis für Röntgenbildgebungskomponenten wie Quellen und Detektoren relativ fest ist. Mit anderen Worten: Wir beabsichtigen, uns stark auf die Berechnung zu verlassen, anstatt auf teure, hochwertige Bildgebungshardware.

In Anlehnung an einige der vorherigen Designs werden wir einen polychromatischen Fächerstrahl und einen energieauflösenden 2D-Detektor verwenden. Eine wesentliche Neuerung besteht darin, dass unser Detektor keine Begrenzungselemente haben wird, weder Kollimatoren noch eine codierte Apertur. Nach unserem besten Wissen ergibt sich daraus der höchste erreichbare Fluss für die XRD-Tomographie. Die Anzahl der gebeugten Photonen wird dennoch sehr niedrig sein, was wir durch eine Bildsegmentierung der rekonstruierten CT-Daten beheben werden (die natürlich viel höhere Anzahlen aufweisen). Der Zweck der Segmentierung besteht darin, die Anzahl der Unbekannten für die XRD-Rekonstruktion zu reduzieren, indem der Koffer in eine kleine Anzahl unterschiedlicher Materialien unterteilt wird. Eine ähnliche Idee wurde in Ref.12 umgesetzt, außer dass wir die codierte Apertur entfernen, eine größere Anzahl von Ansichten verwenden und mehr Detektorpixel installieren.

Ein Koffer wird Schicht für Schicht (in 2D) beleuchtet, während er auf einem Förderband durch die Bildebene läuft. Der Rechenablauf ist wie folgt:

Führen Sie eine Multienergie-Computertomographie (MECT)-Rekonstruktion unter Verwendung von Röntgentransmissionsdaten durch. Dieser Schritt wird häufig auf Flughäfen verwendet und ist in Echtzeit verfügbar, siehe zum Beispiel Ref.26.

Wenden Sie Bildsegmentierung an, um aussagekräftige Objekte zu identifizieren. Dieser Schritt wird ebenfalls häufig verwendet, siehe einen Übersichtsartikel in Ref.27. Wenn außerdem mehrere Objekte im selben Koffer die gleiche Dichte und Ordnungszahl haben, können wir davon ausgehen, dass sie aus demselben Material bestehen, was die Anzahl der Unbekannten für die XRD-Rekonstruktion weiter reduziert. Die Unbekannten sind die Beugungsmuster jedes einzelnen Materials im segmentierten Bild.

Erstellen Sie mithilfe der ortsaufgelösten Röntgendämpfung von MECT sowie der vollständigen Kenntnis der Scannergeometrie und der spektralen Eigenschaften ein Vorwärtsmodell für das erwartete XRD-Signal. Dieser Schritt steht im Mittelpunkt dieses Artikels und wird im nächsten Abschnitt vorgestellt.

Rekonstruieren Sie das XRD-Bild, d. h. finden Sie das Beugungsmuster jedes Materials, das am besten mit den beobachteten Daten übereinstimmt.

Vergleichen Sie die rekonstruierten Beugungsmuster mit der Datenbank bekannter gefährlicher und harmloser Materialien. Für eine Vielzahl von Materialien stehen mehrere Datenbanken zur Verfügung, darunter das International Centre for Diffraction Data (ICDD), die Inorganic Crystal Structure Database und die Crystallography Open Database (COD). Wenn das rekonstruierte Beugungsmuster mit einem der bekannten Bedrohungsmaterialien übereinstimmt, wird der Koffer zur vollständigen Inspektion, beispielsweise einer manuellen Suche, markiert. Zur Berücksichtigung können auch andere Eingaben als XRD bereitgestellt werden (z. B. die Größe und Form von Objekten) sowie alle anderen Informationen über den Passagier, den Flug usw., die dem Sicherheitspersonal zur Verfügung stehen.

Die Neuheit dieses Artikels ist ein detailliertes Vorwärtsmodell der XRD-Bilderzeugung, das Schritt 3 des gesamten Bildgebungsworkflows darstellt. Wir gehen davon aus, dass Transmission (Schritt 1) ​​und Segmentierung (Schritt 2) bereits implementiert sind. Darüber hinaus gehen wir davon aus, dass alle relevanten Instrumentenparameter (Geometrie, Quellenspektrum, Detektorreaktion usw.) bekannt sind. In diesem Artikel sind alle Eingaben genau bekannt, wohingegen es bei einem echten Scanner einige Unvollkommenheiten geben wird, die zu einer Verschlechterung der XRD-Qualität führen. Es ist gängige Praxis, verschiedene Korrekturen (software- und hardwarebasiert) sowie Kalibrierungsverfahren anzuwenden, die die Unvollkommenheiten abmildern. Es würde den Rahmen dieses Artikels sprengen, zu beurteilen, wie sich all diese Effekte auf die Qualität der XRD-Rekonstruktion auswirken können.

Rekonstruktion und Fingerabdruck (Schritte 4 und 5) sind ebenfalls entscheidende Phasen in unserem Workflow zur Bedrohungserkennung und erfordern weitere Arbeiten, insbesondere das Sammeln einer großen Datenbank mit Materialien, die in Koffern gefunden werden, sowie möglichen Bedrohungen. In diesem Artikel gehen wir nur kurz auf diese beiden Themen ein, gerade genug, um zu zeigen, dass eine Bedrohungserkennung mit unserem Design prinzipiell möglich ist. Im Bereich der Nachbearbeitung sind weitere Anstrengungen erforderlich, um die kommerzielle Attraktivität des Scanners zu steigern.

Der Ausgangspunkt unseres XRD-Vorwärtsmodells ist in Abb. 1 dargestellt. Die räumliche Auflösung beträgt in diesem Beispiel \(200\times 200\) Pixel (wird in der Realität variabel sein, abhängig von den MECT-Fähigkeiten). Die Quelle und der Detektor rotieren um diesen interessierenden Bereich (ROI), wie in Abb. 2 dargestellt, obwohl auch komplexere Anordnungen wie MFXS möglich sind. In diesem Artikel verwenden wir nur einen einzigen 2D-Schnitt (in einer zukünftigen Entwicklung sollten mehrere Schnitte kombiniert werden, um die Photonenanzahl pro Material zu erhöhen). Der Schnitt wird durch die Dicke des beleuchteten Keils (siehe Abb. 3) definiert, die ungleich Null ist, daher werden die 2D-„Pixel“ im Folgenden als Voxel bezeichnet, auch wenn sie nur aus einer einzigen Schicht bestehen.

Ein Prototyp eines XRD-Tomographiebildes. Wir zeigen einen 2D-Schnitt eines Kofferphantoms, von dem wir annehmen, dass es (1) mit MECT rekonstruiert, (2) in sinnvolle Objekte segmentiert und (3) in verschiedene Materialien gruppiert wurde. Mithilfe dieser Informationen und eines simulierten verrauschten XRD-Signals rekonstruieren wir die Beugungsmuster für jedes unbekannte Material und vergleichen sie mit einer Datenbank bekannter Materialien. Ein XRD-Tomographiebild ist daher geometrisch mit einem MECT-Bild identisch, verfügt jedoch über eine ausführlichere Legende, die jedem Objekt bestimmte Materialien zuordnet, hier durch den Farbbalken dargestellt. Das XRD-verstärkte Bild ist aussagekräftiger als nur die Dichte und die effektive Ordnungszahl, die von der Standard-MECT verfügbar sind.

Die Draufsicht der Streugeometrie. Die Symbole in der Abbildung sind: \({\textbf{a}} = \hbox{Quelle-zu-Voxel-Vektor}\), \(b = \hbox{Voxel-zu-Detektor-Vektor}\), \(\ Delta x\) und \(\Delta y\) sind die Voxeldimensionen in der horizontalen Ebene. Die Anodenebene, die Röntgenphotonen emittiert, ist entlang des Einheitsvektors \({\hat{\textbf{n}}}\ ausgerichtet, während die Detektorpixeloberfläche durch die orientierte Oberfläche \({\textbf{A }}\) in Einheiten von mm\(^2\). Der ROI ist fixiert, während sich die Quellen-Detektor-Baugruppe gegen den Uhrzeigersinn dreht und Daten in \({\text{SRC}}=32\) diskreten Winkeln aufzeichnet.

Die Seitenansicht der Streugeometrie. Die Symbole in der Abbildung sind: \({\textbf{a}} = \hbox{Quelle-zu-Voxel-Vektor}\), \(b= \hbox{Voxel-zu-Detektor-Vektor}\), \(\ Delta z\) ist die Voxeldicke entlang der Tunnelachse (z), \(\Delta y\) ist die Breite des Voxels in der Ebene. Die Anodenebene, die Röntgenphotonen emittiert, ist entlang des Einheitsvektors \({\hat{\textbf{n}}}\ ausgerichtet, während die Detektorpixeloberfläche durch die orientierte Oberfläche \({\textbf{A }}\) in Einheiten von \(\hbox{mm}^2\). Dargestellt ist die erste Reihe des Beugungsdetektorpaneels, deren Mittelposition sich in einer Höhe \(z_0\) über der Ebene der Quelle befindet. Eine ähnliche Abbildung ist in Ref. 12 verfügbar, mit einem wesentlichen Unterschied in den 1D-Streuungskollimatoren, die wir vollständig entfernt haben.

Ein XRD-Scan besteht aus insgesamt \(M = {\text{SRC}}*{\text{COL}}*{\text{ROW}}*{\text{NRG}}\) Messungen, die wir beschriften mit einem laufenden Index \(m=1,2,\ldots ,M\). In diesem Artikel zeigen wir ein Beispiel mit \({\text{SRC}} = 32\) Quellenpositionen (Blickwinkel), \({\text{COL}} = 1024\) Detektorspalten, \({\text {ROW}} = 1\) Detektorzeilen und \({\text{NRG}} = 64\) Energiekanäle. Die MECT-Rekonstruktion liefert den Röntgenabschwächungskoeffizienten als Funktion der Energie \(\mu (E)\) an jedem der Voxel in Abb. 1. Die einzigen Unbekannten, die wir von einem XRD-Scan verlangen, sind die Werte des Beugungsmusters als Funktion der Wellenvektorübertragung. Insgesamt gibt es \(K = {\text{NWT}}*{\text{MAT}}\) Unbekannte, wobei \({\text{NWT}} = 256\) die von uns gewählte Anzahl von Wellenvektorübertragungsgitterpunkten ist und \({\text{MAT}} = 3\) ist die Anzahl der Materialien im Phantom. Die einzelnen Unbekannten werden ebenfalls mit einem laufenden Index \(k=1,2,\ldots ,K\) gekennzeichnet. Die Beziehung zwischen der gemessenen Photonenzahl \({\textbf{N}} = N(m)\) und den Unbekannten \({\textbf{F}} = F(k)\) ist linear (siehe Ref.12 ) und kann in der Standardform der Matrixmultiplikation mit einem Spaltenvektor ausgedrückt werden:

Die Dimensionen der Modellmatrix \({\mathbb{A}}\) sind [M, K], also insgesamt \(1,6\times 10^9\) Elemente. Jedes dieser Elemente enthält wiederum Beiträge aller möglichen Streuwege, also der Anzahl der Voxel multipliziert mit der Anzahl der Energiekanäle, oder \(2,56\times 10^6\). Schließlich wird die Wahrscheinlichkeit jedes Streupfads mit der Photonenüberlebenswahrscheinlichkeit aufgrund der Abschwächung gewichtet, bei der es sich um ein Linienintegral über das Phantom mit einer maximalen Länge \(200\sqrt{2}\) geteilt durch die gewählte Schrittgröße handelt. was in unserem Fall 0,25 Pixel beträgt. Die Gesamtsumme beträgt mehr als \(10^{18}\) (eine Trillion) mathematische Operationen. Wir haben diese rechenintensive Aufgabe mithilfe von CUDA (Compute Unified Device Architecture) in der GPU implementiert. Eine typische Zeit für den Aufbau der Matrix auf Titan V beträgt etwa 1 Stunde, kann aber je nach Größe und Auflösung des Phantoms und des Spektrums stark variieren. Durch den Einsatz fortschrittlicherer Algorithmen, als in diesem Dokument vorgestellt, besteht Raum für eine erhebliche Beschleunigung. Eine Idee könnte darin bestehen, eine Reihe von Teillinienintegralen auf einmal zu berechnen (eine Cumsum), anstatt für jedes Linienintegral eine separate Summe zu berechnen. Darüber hinaus werden Multi-GPU-Hardware und Cloud Computing sehr erschwinglich und passen hervorragend zu unserem Problem, da sie sich auf natürliche Weise in parallele Threads aufteilen. In jedem Fall kann, sobald die Matrix \({\mathbb{A}}\) bekannt ist, ein ganzes Arsenal an linearen Algebra-Lösern, Regularisierern, neuronalen Netzen usw. (siehe Abschnitt „Diskussion“) verwendet werden, um die Umkehrung \ zu finden. ({\textbf{F}} = {\mathbb{A}}^{-1}\cdot {\textbf{N}}\), was die Beugungsmuster \({\textbf{F}}\) offenbart, angesichts der Photonenzahlen \({\textbf{N}}\). In diesem Artikel haben wir die Lucy-Richardson-Methode verwendet, die im Allgemeinen bei starkem Poisson-Rauschen gut funktioniert.

Für jede Beugungsmessung m müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Wege addieren, auf denen ein Photon von der Quelle zum Detektor gelangt sein könnte. Da die Quelle einen breiten Fächerstrahl aussendet, können Photonen jedes Voxel innerhalb der beleuchteten Phantomscheibe erreichen und von dort aus beugen und jedes der Detektorpixel erreichen. Das Phantom ist groß, daher ist es wichtig, die Röntgenabschwächung sowohl auf den Beinen Quelle-Voxel als auch Voxel-Detektor zu berücksichtigen (die Abschwächungskoeffizienten sind aus MECT bekannt). Außerdem ist der Strahl polychromatisch und der Detektor energieempfindlich, sodass wir die Wahrscheinlichkeiten über das gesamte Quellenspektrum und die Detektorreaktion auf dieses Spektrum summieren müssen. Mathematisch lässt sich dieser Absatz als Summe über alle Voxel und Quellenergiekanäle zusammenfassen:

Im Einzelnen sind die Faktoren:

Der geometrische Faktor G umfasst Trigonometrie, Raumwinkel usw. Wir berechnen ihn in den Abschnitten „Quellenbahn“ und „Streugeometrie“.

Quellenspektrum und Detektorreaktion darauf \(\eta\), näher erläutert im Abschnitt „Energiespektrum und Detektorreaktion“.

Die Überlebenswahrscheinlichkeit des eingehenden Photons \(P_{{\text{in}}}\) von der Quelle zum Voxel und die Überlebenswahrscheinlichkeit des ausgehenden Photons \(P_{{\text{out}}}\) vom Voxel zum Der Detektor. Sie hängen beide von der Röntgenschwächung \(\mu (E)\) ab, die aus einer früheren MECT-Rekonstruktion bekannt ist, und wir zeigen, wie sie im Abschnitt „Strahlschwächung“ berechnet werden.

Differentieller Streuquerschnitt pro Volumeneinheit F(k) (abhängig vom Material und einer Kombination aus Röntgenenergie und Streuwinkel). Im Abschnitt „Beugungsmuster“ zeigen wir, wie wir in der Literatur gefundene Beugungsmuster nutzen können, um die Grundwahrheit in unserem Bildgebungsworkflow zu generieren.

Der letzte Faktor ist der differenzielle Streuquerschnitt F(k), der die Unbekanntenspalte für die Zwecke der XRD-Rekonstruktion darstellt. Allerdings müssen wir auch Ground-Truth-Messdaten simulieren. In diesem Fall ist F(k) bekannt und mit jedem der Materialien verknüpft, die wir unserem Phantom hinzufügen. Wir stellen fest, dass bei einfacheren Materialien wie reinen kristallinen Pulvern der unterschiedliche Streuquerschnitt bis zu einer multiplikativen Konstante (die die Dichte, den Thomson-Elektronenradius usw. einschließt) proportional zum Strukturfaktor des Materials ist. Im Allgemeinen ist der unterschiedliche Streuquerschnitt bei Verbundmaterialien, die in modernen Sprengstoffen vorkommen, eine Mischung verschiedener molekularer Strukturfaktoren, die auch nichtlinear interferieren können. Der Versuch, die molekularen Strukturfaktoren verschiedener Komponenten, aus denen Sprengstoffe bestehen, aufzuklären, würde den Rahmen dieses Artikels sprengen, und wir bleiben stattdessen bei dem unterschiedlichen Streuquerschnitt, der das Material als Ganzes charakterisiert.

Wie wir im Abschnitt „Beugungsmuster“ sehen werden, weisen Beugungsmuster typischer Kristalle sehr scharfe Spitzen auf, die sich über ein einzelnes Voxel und über einen einzelnen Energiekanal hinweg schnell ändern. Eine naive Lösung wäre die Verwendung feinerer Gitter für das Phantom und das Spektrum, aber das ist kostenintensiv, da wir uns selbst mit dem aktuellen groben Modell bereits bei \(10^{18}\) Operationen befinden. Darüber hinaus müssten wir die Detektorpixel sowie den Quellbrennfleck in kleinere Bereiche unterteilen, was die Berechnung praktisch undurchführbar machen würde. Unsere Lösung für diesen „Fluch der Dimensionalität“ besteht darin, das hochauflösende Beugungsmuster mit einem Tiefpassfilter zu verschmieren, der die Breite jedes groben Beugungspfads hat, bevor wir Gl. (2). Der Abschnitt „Ein kleiner, aber endlicher Streupfad“ zeigt, wie die Breite eines bestimmten Pfades berechnet wird. Schließlich zeigt der Abschnitt „Vorwärtsprojektor und Modellmatrix“, wie man die Unbekannten F(k) herausfiltert, indem man die Breite des Beugungspfads mit der Breite des Rekonstruktionsbehälters schneidet und so die Matrixkoeffizienten \({\mathbb{A}) isoliert. }(m,k)\).

Im letzten Abschnitt „Hintergrund der Compton-Streuung“ wird eine bekannte Quelle der Verzerrung erörtert, insbesondere die inkohärente Compton-Streuung. Es ist möglich, diese Verzerrung abzuschätzen und zu korrigieren, die andernfalls die Qualität der XRD-Rekonstruktion verschlechtern würde.

Sicherheitsscanner können entweder eine rotierende Quellen-Detektor-Anordnung oder eine stationäre Multifokus-Quellenanordnung (MFXS) verwenden, beispielsweise ein unregelmäßiges Polygon, das in den verfügbaren Tunnelraum eingeschrieben ist. Unser theoretisches Modell kann an beide Wahlmöglichkeiten angepasst werden. In diesem Artikel betrachten wir nur eine rotierende Quelle, die eine kreisförmige Flugbahn hat. Ebenso könnte der Detektor auch eine unregelmäßige oder gebogene Form haben, aber hier zeigen wir nur ein Beispiel mit einem Flachdetektor. Der interessierende Bereich (ROI) ist ein Quadrat der Größe \(L_x = L_y = {200}\,\hbox{mm}\). Wir nehmen an, dass das Phantom entlang der dritten Achse \({\hat{\textbf{z}}} = {\textbf{z}}/|{\textbf{z}}|\) (Einheitsvektor) eine konstante Zusammensetzung hat, was gerechtfertigt ist, wenn der beleuchtete Fächerstrahl dünner ist als die Objekte im Phantom. Aus Gründen der Rechenfreundlichkeit wird der Ursprung des kartesischen Koordinatensystems in der linken unteren Ecke des ROI gewählt. Die Ebene, in der sich die Quelle dreht, definiert den Ursprung der Z-Achse. Die Flugbahn der Quelle ist somit gegeben durch

wobei \(\rho _{{\text{src}}} = 150\,\hbox{mm}\) der Abstand von der Quelle zur Mitte des ROI ist und \(\alpha = 2\pi ({\ text{src}}/{\text{SRC}})\) ist der Blickwinkel, mit \({\text{src}} = 0,1,\ldots ,({\text{SRC}}-1) \) ist der Quellindex. Die Detektorbahn ist gegeben durch

wobei \(c = ({\text{col}} - {\text{COL}}/2 + 0,5)*({\text{Spaltenabstand}})\) die Position der Detektorspalte in Bezug auf die ist Zentralstrahl. Der Radius der Detektortrajektorie beträgt \(\rho _{\mathrm{\text{det}}} = 170\,\hbox{mm}\). In dieser Arbeit wird der Abstand der Detektorspalten zu 0,5 mm gewählt, während die Höhe der ersten Detektorzeile \(z_0 = 10\,\hbox{mm}\) beträgt (siehe Abb. 3). Dieser Versatz ist erforderlich, da in der Realität aufgrund der endlichen Quellengröße ein kleiner Teil des übertragenen Strahls über die \(z=0\)-Ebene hinausragen kann, weshalb die erste Reihe hoch genug sein muss, um dies zu vermeiden. Gleichzeitig sollten Beugungsdetektoren so nah wie möglich am Direktstrahl sein, um die kleinsten Streuwinkel zu erfassen, bei denen häufig viele XRD-Peaks zu finden sind.

Der Vektor normal zur Detektoroberfläche ist gegeben durch

wohingegen die Quelloberfläche (die Anode) senkrecht dazu steht

wobei \(\beta = {30}^\circ\) die Neigung der Anodenebene ist.

Der Geometriefaktor G in Gl. (2) setzt sich aus folgenden Begriffen zusammen:

Für jeden Streuweg gibt es einen solchen Faktor, nämlich ein Dreieck zwischen der Quelle, dem Voxel und dem Detektor, wie in den Abbildungen dargestellt. 2 und 3. Der Quelle-zu-Voxel-Vektor ist \({\textbf{a}}\) und der Voxel-zu-Detektor-Vektor ist \({\textbf{b}}\). Der In-Plane-Bereich des Voxels \(\Delta x\Delta y\) wird durch die räumliche Auflösung der vorherigen MECT-Rekonstruktion bestimmt. In dieser Arbeit gehen wir davon aus, dass ein MECT-Bild verfügbar ist und eine Auflösung von \(\Delta x = \Delta y =1\,\hbox{mm}\) hat.

Das beleuchtete Volumen (siehe grauer Bereich in Abb. 3) hat die Form eines Keils und wird durch die Strahlstoppöffnung gesteuert. Die Oberseite des beleuchteten Keils ist auf \(\varphi _1 = {0}^\circ\) eingestellt, während die Unterseite in einem Winkel \(\varphi _2 = {-0,5}^\circ\) geneigt ist (beide einstellbar). Einstellungen). Die Dicke eines bestimmten Voxels beträgt somit

wobei \(a_x\) und \(a_y\) die kartesischen Koordinaten in der Ebene des Quelle-zu-Voxel-Vektors \({\textbf{a}}\) sind. Die Position der Mitte des Voxels entlang der z-Achse ist:

Diese Position wird verwendet, um die z-Komponenten von \({\textbf{a}}\) und \({\textbf{b}}\) zu berechnen. Die inverse Quadratlänge \(|{\textbf{a}}|^{-2}\) erklärt die Photonenfluenz (Anzahl der Photonen pro Oberfläche) am Ort des Voxels. Beachten Sie, dass die Voxeldicke, Gl. (8) steigt linear mit dem Abstand zwischen Quelle und Voxel. Zusammen mit dem Fluenzfaktor \(|{\textbf{a}}|^{-2}\) verringert sich die Anzahl der gebeugten Photonen zu \(|{\textbf{a}}| ^{-1}\) .

Der Winkel zwischen den beiden Schenkeln beträgt \(\cos \theta = {\hat{\textbf{a}}} \cdot {\hat{\textbf{b}}}\). Es wird zur Berechnung des Polarisationsfaktors \(\left( 1+\cos ^2\theta \right) /2\) verwendet, der für nicht polarisierte Röntgenquellen wie Vakuumröhren28 gilt. Aus der Sicht des Voxels schließlich erstreckt sich ein Detektor mit der orientierten Oberfläche \({\textbf{A}}\) über einen Raumwinkel

Die Gesamteinheiten des Geometriefaktors G sind mm. In diesem Abschnitt haben wir angenommen, dass das Phantom über eine Dicke von mindestens \(\Delta z\) gleichmäßig ist.

Die Transmissionstomographie arbeitet in der Regel mit harter Röntgenstrahlung im Bereich von 30–180 keV, die eine geringe Dämpfung aufweist, die zum Durchdringen dicker Materialien erforderlich ist. Röntgenbeugung hingegen wird typischerweise an sehr kleinen Proben in einer Laborumgebung durchgeführt und verwendet viel weichere Röntgenstrahlen, zum Beispiel 8,04 keV, was der Kupfer-K-\(\alpha\)-Linie entspricht. Bei kleinen Proben ist die Strahlabschwächung nicht wichtig, und eine niedrigere Röntgenenergie wird bevorzugt, da sie den Abstand der auf dem Detektor sichtbaren Beugungspeaks vergrößert (siehe Gleichung (31)) und somit die Auflösung erhöht. Unser kombinierter Transmissions-(+\)-Beugungsscanner sollte einen Mittelweg zwischen diesen beiden Extremen finden.

Das optimale Spektrum hängt von der jeweiligen Anwendung ab. In diesem Artikel wählen wir daher lediglich einen vernünftigen Wert von 80 keV für die Anodenspannung und einen standardmäßigen 1-mm-Aluminiumfilter, um die Photonen mit der niedrigsten Energie zu entfernen. Die von SpekCalc (Abb. 4) bereitgestellten Spektrumswerte \(\Phi (E)\) beziehen sich auf die Anzahl der Photonen pro \(\hbox{cm}^{2}\) bei einem Referenzabstand \(a_0 = {100 }\,\hbox{cm}\), pro Energie-Bin mit einer Breite von 1 keV. Die absolute Anzahl der Photonen ist proportional zur Belichtungszeit, die wir auf 0,1 ms pro Quelle und Z-Scheibe eingestellt haben, und zum Quellenstrom, den wir auf 10 mA eingestellt haben. Diese Einstellungen können jedoch zwischen verschiedenen Anwendungen der XRD-Bildgebung stark variieren. Anisotrope Merkmale des Spektrums wie der Heel-Effekt werden in dieser Arbeit nicht berücksichtigt, wären aber im aktuellen Algorithmus problemlos zu implementieren.

Quellspektrumsimulation von SpekCalc. Die Anzahl der Photonen ist proportional zum Quellenstrom und zur Belichtungszeit, die wir mit 10 mA und 0,1 ms oder 1 mC Elektronenladung angenommen haben.

Dieses hochauflösende Spektrum wird mit einem realistischen energieempfindlichen Detektor, der eine Auflösung von etwa

wie in experimentellen29 und theoretischen30 Studien detailliert beschrieben. Seit der Veröffentlichung dieser Arbeiten sind schon einige Jahre vergangen, daher haben wir uns erlaubt anzunehmen, dass die Energieauflösung um den Faktor zwei verbessert wurde oder in naher Zukunft verbessert werden wird. Wir diskretisieren das Spektrum auf eine angemessene Anzahl von \({\text{NRG}} = 64\) Energiebehältern, die im gleichen Abstand zwischen \(E_{{\text{min}}} = 8\,{\hbox{keV} }\) und \(E_{{\text{max}}} = 80\,{\hbox{keV}}\), mit einer Bin-Breite \(\Delta E = (E_{{\text{max}} } - E_{{\text{min}}})/{\text{NRG}} = 1,125\,\hbox{keV}\), was am unteren Ende des Energieauflösungsbereichs \(\sigma = 0,905) liegt -1,805\,\hbox{keV}\). Die Energiebereiche der Quelle sind mit dem Index \({\text{nrgsrc}} = 1,2,\ldots ,{\text{NRG}}\) gekennzeichnet, und in ähnlicher Weise sind die Energiebereiche des Detektors mit dem Index \({ \text{nrgdet}} = 1,2,\ldots ,{\text{NRG}}\). Wir können dann die Effizienz des Einfangens eines Quellphotons aus dem Bin nrgsrc an einem Detektor-Bin nrgdet berechnen:

Die Integrationsgrenzen (die Behälterkanten) sind gegeben durch

Das Ergebnis von Gl. (12) ist eine dimensionslose Anzahl von Photonen und ist in Abb. 5 dargestellt. Mit anderen Worten ist \(\eta (\text{nrgsrc}, \text{nrgdet})\) die Faltung des Quellenspektrums und des Detektors Auflösung, für alle Bin-Paare. Wir haben angenommen, dass die Detektorverstärkung eins beträgt, obwohl sie in Wirklichkeit Pixel für Pixel kalibriert werden sollte und die Ergebnisse in Gleichung eingearbeitet werden sollten. (12).

Faltung der Detektorantwort mit dem Quellenspektrum. Aufgrund des schnellen Abfalls von der Diagonale weg verwenden wir nur 5 Bins links und rechts, um über das Spektrum zu summieren (siehe Gleichung (2)), also insgesamt 11 Terme und nicht alle 64.

Das in dieser Arbeit verwendete Phantom ist in Abb. 1 dargestellt und entspricht der grauen Fläche in Abb. 2. Es besteht aus \((\text{NX}=200) \times (\text{NY} = 200)\ ) Voxel der Größe 1 mm\(^2\). Wir gehen davon aus, dass für dieses Phantom eine Multienergie-Computertomographie (MECT) unter Verwendung der Transmissionsdetektordaten durchgeführt wurde, siehe die Transmissionsdetektoren in Abb. 3. Das Ergebnis der MECT ist der Röntgenschwächungskoeffizient als Funktion der jeweiligen Energie Punkt

des Phantoms. Referenz31 zeigt, dass die Röntgenschwächung gut als Summe der photoelektrischen (\(a_1\)) und Compton-Koeffizienten (\(a_2\)) angenähert werden kann:

Die Energiebasisfunktionen sind gegeben durch

wobei \(\varepsilon = E/m_ec^2\) die dimensionslose Photonenenergie ist (dh geteilt durch die Ruheenergie des Elektrons \(m_ec^2\)). In diesem Artikel gehen wir optimistisch davon aus, dass die MECT-Rekonstruktion ideal ist. In diesem Fall sollten die Koeffizienten für jedes Material gleich sein

Dabei sind \(n=4,2\) und \(K_1 = 1,047\times 10^{-7}\,\hbox{cm}^{2}/\hbox{mol}\) empirische Parameter, während \(K_2 = 2\pi r_e^2 N_A = 0.30\,\hbox{cm}^2/\hbox{mol}\) ist der Compton-Parameter, der aus dem klassischen Elektronenradius \(r_e\) und der Avogadro-Zahl \( N / A\). Weitere Symbole sind:

\(\rho\) ist die Massendichte des Materials in g/cm\(^{3}\),

\(N_{1,2,\ldots }\) ist die Anzahl der Atome,

\(Z_{1,2,\ldots }\) ist die Ordnungszahl und

\(M_{1,2,\ldots }\) ist das Atomgewicht.

Beispielsweise ist die chemische Zusammensetzung von Ammoniumnitrat \(\text{NH}_4\text{NO}_3\), was in unserer Notation \(Z=[1,7,8]\), \(N= [4,2,3]\) und \(M = [1.00784,\,14.0067,\,15.999]\,\hbox{g mol}^{-1}\).

Die in Gl. genannten Photonenüberlebenswahrscheinlichkeiten. (2) sind gegeben durch:

In der Simulation werden die Linienintegrale durch diskrete Summen mit der Schrittgröße \(\Delta r = 0,25\) der Voxelgröße (das ist unsere interne Längeneinheit, die als Eins definiert ist, d. h. \(\Delta x = \Delta y) ersetzt = 1\), und alle anderen Längen sind relativ dazu). Im Allgemeinen stimmen die Abfragepunkte entlang der Linien nicht mit den Positionen der Voxel überein, die sich auf einem kartesischen Gitter befinden. Daher rufen wir die Werte für (\({a}_1({\textbf{r}})\) ab. \({a}_2({\textbf{r}})\)) unter Verwendung bilinearer Interpolation und nehmen Sie an, dass sie außerhalb des interessierenden Bereichs (ROI) Null sind.

Die überwiegende Mehrheit der XRD-Studien gibt die Streuintensität in willkürlichen Einheiten an. Dies reicht aus, um Kristallstrukturen zu bestimmen, die allein aus den Positionen und relativen Intensitäten der Beugungspeaks abgeleitet werden können. Andererseits ist der Photonenfluss ein wichtiger Gesichtspunkt für ein XRD-Bildgebungssystem, der wiederum von den Streuquerschnitten in absoluten Einheiten abhängt. Dieser Schritt ist von entscheidender Bedeutung, um ein System zu entwerfen, das ein ausgewogenes Verhältnis zwischen dem Fluss und der Genauigkeit der Wellenvektorübertragung q herstellt, die zur Auflösung einzelner XRD-Peaks erforderlich ist. Derzeit ist die Intensitätskalibrierung experimentell nur für eine begrenzte Anzahl von Situationen möglich. Insbesondere Geräte zur Röntgenkleinwinkelstreuung (SAXS) werden manchmal auf einen absoluten Maßstab kalibriert, da in dieser Geometrie die Ewald-Kugel als flach angenommen werden kann und die Detektorebene perfekt darauf abgestimmt werden kann. Bei der Weitwinkel-Röntgenstreuung (WAXS) ist diese Annahme nicht anwendbar und es ist eine zusätzliche Korrektur für den Winkel erforderlich, den sie mit der Tangente der Kugeloberfläche bildet. Aufgrund dieser und anderer Komplikationen versuchen die meisten Autoren nicht, ihre WAXS-Daten zu kalibrieren, geschweige denn XRD. Derzeit gibt es mehrere Studien, die mit derselben Probe sowohl auf SAXS- als auch auf WAXS-Geräten durchgeführt wurden und deren Q-Bereiche sich überlappen, was eine einfache Kreuzkalibrierung der beiden Datensätze ermöglicht. Zu den verfügbaren Beispielen gehören Silberbehenat33, flexible NiBpene-MOFs (metallorganische Gerüste)34 und isotaktisches Polypropylen35,36.

Für allgemeine Materialien, die für Sicherheit, Gesundheitswesen und Fertigung von Interesse sind, ist eine Kalibrierung der absoluten XRD-Intensität nicht ohne weiteres verfügbar. Dennoch können wir das Hintergrundniveau der Streuung grob vorhersagen, indem wir die theoretischen Rayleigh- und Compton-Funktionen R(q) und C(q) verwenden, die für jedes Atom des Periodensystems in Lit. 37 tabellarisch aufgeführt sind. Für Materialien, die mehrere Atomarten enthalten, beträgt der unterschiedliche Streuquerschnitt pro Volumeneinheit:

Dabei ist \(\rho\) die Massendichte, \(N_{1,2,\ldots }\) die Anzahl einer gegebenen Atomart und \(M_{1,2,\ldots }\) die Atomzahl Gewicht. Der klassische Elektronenradius beträgt \(r_e = 2,818\times 10^{-15}\,\hbox{m}\), während die Avogadro-Zahl \(N_A = 6,022\times ^{23}\,\hbox{mol) beträgt }^{-1}\). Während der Compton-Beitrag (inkohärent) für alle Materialien korrekt ist, würde die Rayleigh-Komponente (kohärent) nur dann zutreffen, wenn die Atome zufällig im Raum verteilt wären. In realen Materialien ist die Atomstruktur alles andere als zufällig, was zu konstruktiven Interferenzspitzen und destruktiven Interferenztälern in der Rayleigh-Komponente führt. Der Tiefpunkt des gemessenen XRD-Signals kann ungefähr bis zur theoretischen Compton-Streuung reichen, während die Basislinie der Peaks (der Wendepunkt) ungefähr dort liegen kann, wo sich die theoretische Rayleigh \(+\) Compton-Kurve befindet. Mithilfe dieser Faustregeln haben wir die Amplitude der XRD-Daten für Aluminium angepasst, wie in Abb. 6 dargestellt. Wir konnten die Gültigkeit unserer Faustregel auch in einem Fall beurteilen, in dem die experimentell kalibrierten Daten verfügbar waren (isotaktisches Polypropylen36). , nicht gezeigt), und die beiden Kurven lagen deutlich in der gleichen Größenordnung.

Experimentelles XRD-Muster einer Aluminiumlegierung32, von uns auf eine absolute Skala von \(\hbox{cm}^{-1}\) neu skaliert, um in etwa der theoretischen, nicht beugenden Streuung zu entsprechen, bestehend aus Compton- und Rayleigh-Termen. Wenn experimentelle XRD-Daten unseren gewünschten Bereich von 0,5–6 Å\(^{-1}\) nicht vollständig abdecken, verwenden wir die theoretischen Daten für ein nicht beugendes Material derselben Zusammensetzung.

Als Randbemerkung erwähnen wir, dass der Polarisationsfaktor \(\left( 1+\cos ^2\theta \right) /2\) in veröffentlichten XRD-Daten oft nicht berücksichtigt wird. Da die Daten häufig mit energiearmen Röntgenstrahlen erfasst werden, müssen wir sie durch ihren eigenen Polarisationsfaktor dividieren, bevor wir die Daten in unseren Simulationen verwenden. Diese Korrektur kann erheblich sein, bis zu einem Faktor von 2, und ist wichtig einzubeziehen, da unser XRD-Bildgebungsscanner Röntgenstrahlen mit viel höherer Energie verwendet und daher die Beugungspeaks bei einem gegebenen q-Wert bei wesentlich kleineren Streuwinkeln erscheinen \(\ Theta\).

Zur Berechnung der Grundwahrheit (Vorwärtsprojektion) wird der Querschnitt in Gl. (2) wird durch Verschmieren der hochauflösenden XRD-Daten mit der Breite des Streupfads aus Gl. erhalten. (32):

Beugungsmuster hochwertiger Kristalle weisen oft sehr scharfe, schmale Peaks auf (siehe Abb. 6). Um sie zu messen, sollte die experimentelle Unsicherheit des Wellenvektortransfers q wesentlich kleiner sein als die intrinsische Peakbreite. Die q-Auflösung unseres XRD-Tomographie-Aufbaus wird im Vergleich zu der von speziellen Labordiffraktometern recht niedrig sein, daher werden unsere rekonstruierten Muster verschmiert. Um die Verschmierung zu quantifizieren, leiten wir in diesem Kapitel die Auflösungsformel für einen realistischen Streuweg endlicher Größe ab, wie in Abb. 7 dargestellt. Die Genauigkeit von q wird durch die Größe der Quelle und des Voxels sowie durch die bestimmt Größe und Energieempfindlichkeit des Detektors.

Eine typische Streugeometrie, definiert durch die eingehenden \({\hat{\textbf{a}}}\) und ausgehenden \({\hat{\textbf{b}}}\) Wellenvektoren. Der Allgemeinheit halber sind die beiden Vektoren ungleich. Wir zeigen auch die Hauptrichtungen \({\textbf{S}}\), \({\textbf{V}}\) und \({\textbf{D}}\), die die Hauptunsicherheit \(\ Delta q\) (siehe Gleichung (32)). Die großen Kreise veranschaulichen die endlich großen Quell-, Voxel- und Detektorbereiche. Beachten Sie, dass die drei Regionen im Allgemeinen beliebige, nicht kreisförmige Formen haben können, wie in den Gleichungen beschrieben. (34)–(37). Bestimmte Punkte innerhalb dieser Regionen werden mit den Vektoren \({\textbf{s}}\), \({\textbf{v}}\) bzw. \({\textbf{d}}\) gekennzeichnet (nicht gezeigt). ).

Der durchschnittliche Wellenvektortransfer für ein Photon der Energie E, das sich vom Zentrum der Quelle zum Zentrum des Voxels und weiter zum Zentrum des Detektors bewegt, ist gegeben durch

Dabei ist \(\hbar c= 1,973\) keV Å das Plancksche Wirkungsquantum multipliziert mit der Lichtgeschwindigkeit. Da alle drei Orte eine endliche Größe haben und der Energiekanal eine endliche Breite hat, weist der Wellenvektortransfer jedes Beugungspfads eine endliche Verteilung um den Mittelwert auf. Wir wenden die Kettenregel auf Gleichung an. (22) um die Nettoveränderung zu finden:

Hier haben wir \(e=\Updelta textbf{v}}\) vom Zentrum des Voxels entfernt. Dadurch wird der Quelle-zu-Voxel-Vektor auf einen neuen Wert geändert

Der Unterschied der einfallenden Wellenrichtung beträgt somit

Die Vernachlässigung von Termen höherer Ordnung ist durchaus gerechtfertigt, wenn die Voxelgröße v viel kleiner ist als der Abstand a zwischen Quelle und Voxel. Der linearisierte Ausdruck wird später in Gleichung nützlich sein. (32), wo wir die mittlere quadratische Breite eines Streupfads berechnen. Es wäre äußerst kostspielig, die genaue mittlere Quadratbreite zu berechnen, da dies ein zehndimensionales Integral (Energie plus drei Punkte in 3D) für jeden möglichen Beugungsweg erfordert.

Der nächste Schritt in der Ableitung besteht darin, zuzulassen, dass die Quelle und der Detektor auch endliche Größen haben, beschrieben durch kleine Vektoren \({\textbf{s}}\) und \({\textbf{d}}\), die von weg zeigen ihre jeweiligen Mittelpunkte (die Kreise in Abb. 7). Mit anderen Worten: Ein beliebiger außermittiger Streupfad besteht aus zwei modifizierten Zweigen:

Anschließend verallgemeinern wir Gl. (25) und kombinieren Sie es mit Gl. (23) um die vollständige Änderung der Wellenvektorübertragung zu finden (genau bis zur ersten Ordnung in s, v und d):

Bei isotropen Materialien ist nur die Größe der Änderung wichtig:

Unter Vernachlässigung von Termen der Ordnung \((\Delta q)^2\) und höher ergibt sich der Ausdruck

Hier haben wir drei Hilfsvektoren definiert

und verwendete die Amplitude der mittleren Wellenvektorübertragung

Die Schlüsselgröße zur Berechnung realistischer Beugungssignale ist die mittlere Quadratbreite eines gegebenen Streupfads:

Es enthält vier Beiträge, nämlich den Energiebereich sowie Größen ungleich Null der Quelle, des Voxels und des Detektors. Für ausreichend kleine Behälter können wir davon ausgehen, dass die Energieverteilung innerhalb jedes Energiebehälters konstant (gleichmäßig) ist, was zu Folgendem führt:

Die Größe der Quelle bezieht sich auf die räumliche Verteilung der Punkte, die Röntgenstrahlen aussenden. Im Allgemeinen handelt es sich um eine 3D-Skalarfunktion \(\rho ({\textbf{s}})\) (angenommen als normalisiert \(\int \rho ({\textbf{s}})\; d{\textbf {s}} = 1\)) und der für uns relevante Moment ist

In dieser Arbeit untersuchen wir nicht die detaillierte Form von \(\rho ({\textbf{s}})\) und gehen stattdessen von einem vereinfachten Modell aus, nämlich einem flachen quadratischen Fleck der Anodenoberfläche, dessen Normalenvektor durch gegeben ist \({\hat{\textbf{n}}}\). In diesem Fall gilt Gl. (33) verallgemeinert auf

Dabei ist \(\Delta s = 0,5\,\hbox{mm}\) die Seitenlänge des rechteckigen Flecks, der Röntgenstrahlen aussendet, auch bekannt als Brennfleck. Die gleiche Formel gilt auch für den Detektor, den wir als Rechteck mit der Fläche \(|{\textbf{A}}| = 0,5\,\hbox{mm}^2\ festlegen:

Schließlich wird das Voxel als rechteckiges Parallelepiped mit gleichmäßiger Dichte modelliert. In diesem Fall lässt sich die Formel auf verallgemeinern

Wir haben nun alle Zutaten, um die Berechnung für die erwartete Anzahl von Photonen durchzuführen, Gl. (2). Um die inverse Berechnung durchzuführen, müssen wir zunächst die q-Achse in NWT-Bins endlicher Größe diskretisieren. Im Allgemeinen sollten die Bins etwas kleiner sein als die intrinsische, physische Scannerauflösung \(\sqrt{\langle \Delta q^2\rangle }\). Es ist sinnlos, eine Rekonstruktion mit einer viel feineren Auflösung als dieser zu versuchen, insbesondere weil die Matrixgröße und die Rechenzeit bereits überstrapaziert sind und in der Praxis einen übermäßigen Rechenaufwand erfordern. In diesem Projekt arbeiten wir mit \(\text{NWT} = 256\) Rekonstruktionsbehältern, die ungleichmäßig verteilt sind, um ungefähr dem natürlichen Verhalten von \(\sqrt{\langle \Delta q^2\rangle }\) zu folgen. Um die Berechnungen zu beschleunigen, setzen wir außerdem das Beugungssignal außerhalb des Bereichs \(q_{\text{min}} = 0,5\) Å−1 und \(q_{\text{max}} = {6,0} auf Null. \) Å−1 sowohl bei Vorwärts- als auch bei Umkehrproblemen. In Wirklichkeit kann eine kleine Menge gebeugter Photonen den Detektor über diesen Bereich hinaus erreichen, und wir könnten dies als allgemeine Hintergrundverzerrung behandeln, wie in Gleichung (1) gezeigt. (1), dies würde jedoch den Rahmen der vorliegenden Arbeit sprengen. Wir definieren den linken Rand unseres Rekonstruktionsbehälters als neu

wobei \(dq_0 = 0,01\) Å−1 die Breite des ersten Bins ist. Die rechte Kante \(q_{\text{right}}(\text{nwt})\) ist dieselbe, jedoch mit \(\hbox{nwt}+1\) anstelle von nwt. Der durchschnittliche Wellenvektor des Behälters ist

Das (m,k)-te Element der Matrix \({\mathbb{A}}\) ist die Summe der Schnittpunkte des Rekonstruktionsbehälters und jedes physikalischen Pfades, nämlich

Beachten Sie, dass die obige Gleichung jeden Aspekt des Scans enthält, mit Ausnahme des Beugungsmusters F. Um die Gültigkeit der Matrix zu überprüfen, können wir sie mit einem Spaltenvektor (siehe Gleichung (1)) multiplizieren, der aus bin-gemittelten Streukreuzen erstellt wird. Abschnitte:

Die resultierenden Photonenzahlen N(m) liegen nahe an denen, die wir aus der direkten Ground-Truth-Summierung (Gleichung (2)) erhalten, mit kleinen Unterschieden aufgrund der endlichen Größe der Diskretisierung (nicht gezeigt).

In Gl. kann es viele Ursachen für Verzerrungen geben. eqrefmatrixproduct, aufgrund mangelhafter Instrumentierung (Detektorunschärfe, Verzögerung) sowie sekundärer Röntgenphänomene wie Streuung. Hier betrachten wir eine Verzerrung aufgrund inkohärenter (Compton-)Streuung, die bei höheren Energien und Streuwinkeln erheblich werden kann. Um auch das einfach gestreute Compton-Signal zu erhalten, ist nur eine kleine Ergänzung zu unserer zuvor beschriebenen XRD-Berechnung erforderlich. Mehrfachstreuung (kohärent, inkohärent und Kombinationen davon) geht über den Rahmen dieser Arbeit hinaus, obwohl in der Literatur über einige Fortschritte im Zusammenhang mit der XRD-Tomographie berichtet wurde38. Die Anzahl der Compton-gestreuten Photonen wird ähnlich wie in Gl. berechnet. (2), außer dass der Streuquerschnitt F durch den aus Hubbells Tabellen interpolierten ersetzt wird, siehe Abb. 8. Er hängt von den photoelektrischen und Compton-Koeffizienten \(a_1\) und \(a_2\) jedes Materials ab, von denen wir bereits angenommen haben, dass sie von der Übertragung MECT verfügbar sein werden. Wir sehen auch, dass der inkohärente Streuquerschnitt gleichmäßig mit q variiert, daher müssen wir ihn nicht vorab mitteln (d. h. wir können davon ausgehen, dass er über die Breite des Streuwegs \(\sqrt{\langle ( \Updelta q)^2 \rangle }\)). Beachten Sie jedoch, dass die Compton-Streuung inelastisch ist, was bedeutet, dass das Elektron einen Teil des Impulses mitnimmt, was die Wellenvektorübertragung des Photons verändert:

Die obige Gleichung ist in dimensionslosen Einheiten angegeben und wird verwendet, um tabellarische Querschnittsdaten abzurufen, wie in Abb. 8 dargestellt. Das Symbol \(\epsilon\) ist die Abkürzung für

was auch zur Berechnung der Energie des ausgehenden Photons verwendet wird:

Wir wenden die obige Gleichung auf die linke und rechte Kante des ankommenden Quellenphotonen-Energiebands an, was zu den beiden Kanten des ausgehenden Energiebands führt, \(E_{\text{out1}}\) und \(E_{\text {out2}}\). Anschließend überlappen wir diesen Bereich mit dem Bereich des Detektorenergiekanals:

Das dimensionslose Überlappungsgewicht oben wird mit allen Termen multipliziert, die die Summe in Gleichung ergeben. (2). Mit anderen Worten: Wir führen eine Akkumulation mit linearer Interpolation durch. Ein einfacherer Nearest-Neighbor-Ansatz ist ebenfalls möglich, aber da unser XRD-Summierungscode bereits alle Detektorenergiekanäle enthält, verwenden wir die Programmstruktur auch für Compton wieder. Für die Compton-Streuung gilt schließlich der Polarisationsfaktor in Gl. (7) muss durch die Klein-Nishina-Funktion ersetzt werden:

wobei \(\epsilon = E_{\text{in}}/E_{\text{out}}\ge 1\) das Verhältnis der ein- und ausgehenden Energien ist. Im Grenzfall kleiner Energie und/oder Streuwinkel reduziert sich der Klein-Nishina-Faktor wieder auf den Polarisationsfaktor \(\left( 1+\cos ^2\theta \right) /2\).

Die Karte von der MECT-Ausgabe (\(a_1\), \(a_2\)) zum Compton-Streuquerschnitt. Die Wellenvektorübertragung wird in dimensionslosen Einheiten \(q\hbar /mc/2\) ausgedrückt. Beide Eingaben befinden sich zur schnelleren Suche auf der logarithmischen Achse der Basis 2 unter Verwendung eines regelmäßigen 64x64-Rasters (rechts), das durch Interpolation der unregelmäßig verteilten Daten von Hubbell (links) erhalten wurde und in Ref. 37 verfügbar ist. Die Nachschlagetabelle ist auf den Bereich [0, 255] normalisiert, sodass sie als 8-Bit-Ganzzahlen gespeichert werden kann, um die kritische Nutzung des gemeinsam genutzten Speichers zu reduzieren.

Unser Beispielphantom (Abb. 1) enthält drei große Körper aus Zellulose geringer Dichte (ähnlich wie Kleidung), und darin eingewickelt sind einige beugende Objekte, ein harmloses (Aluminiumlegierung) und zwei Bedrohungen (beide Ammoniumnitrat). Alle Objekte sind ziemlich groß und rund, daher sollten die Übertragungs-MECT-Daten sehr gut sein und eine genaue Bildsegmentierung ermöglichen, von der wir annehmen, dass sie bekannt ist. Die Grundwahrheit wird durch die Digitalisierung hochauflösender, experimentell gemessener XRD-Daten ermittelt, die in der Literatur verfügbar sind. Wir benötigen außerdem die Dichte und chemische Zusammensetzung jedes Materials, um die Dämpfung zu simulieren (siehe Abschnitt „Strahldämpfung“). Wir haben diese Literaturquellen genutzt:

Zellulose stammt aus Ref. 39 und wir gehen davon aus, dass eine Dichte von 0,1 g/cm\(^{3}\) ein vernünftiges Modell für Kleidung ist.

Die Aluminiumlegierung stammt aus Ref. 32 und verwendet die im selben Artikel aufgeführte Zusammensetzung.

Ammoniumnitrat stammt aus Ref. 40. Es handelt sich um ein gefährliches Material, das häufig als Düngemittel verwendet wird, aber absichtlich oder unabsichtlich leicht zur Explosion gebracht werden kann.

Wir haben die obigen Daten auf einer absoluten Skala kalibriert, wie im Abschnitt „Beugungsmuster“ erläutert, wodurch der differenzielle Streuquerschnitt pro Volumeneinheit (ohne Polarisationsfaktor) entsteht: \(V^{-1}(d\sigma / d\Omega )_{\text{XRD}}\).

Da die Auflösung der Labor-XRD aus der Literatur die unseres vorgeschlagenen Flughafenscanners bei weitem übertrifft, müssen wir die Grundwahrheit über die Breite \(\langle (\Delta q)^2\rangle\) jedes einzelnen Beugungspfads verwischen, wie in Gleichung (1) gezeigt . (21). Wir wenden dann Gl. (2) um die erwartete Anzahl von XRD-Photonen für jede Messung zu berechnen. Wir fügen auch die inkohärente Compton-Streuung hinzu, wie im Abschnitt refsec:compton erläutert. Zuletzt verwenden wir einen Poisson-Zufallszahlengenerator, um das Rauschen der Photonenzählung zu simulieren, wie in Gl. eqrefmatrixproduct. Ein 2D-Schnitt dieser Vorwärtssimulation ist in 2D in Abb. 9 dargestellt, und ein 1D-Schnitt ist in Abb. 10 (die blaue Treppe) dargestellt.

Ein Teil der deterministischen Vorwärtssimulation mit hinzugefügtem Poisson-Rauschen, wie in Gl. beschrieben. (1). Insgesamt sind in diesem Detektorschnappschuss etwa 44.000 Photonen enthalten, also etwa 1.100.000 Photonen für alle 32 Quellenpositionen.

Eindimensionaler Ausschnitt der verrauschten Messung aus Abb. 9. Zum Vergleich zeigen wir die Anzahl der Photonen \({\textbf{N}} = {\mathbb{A}}\cdot {\textbf{F}}+{ \text{bias}}\), berechnet unter Verwendung des rekonstruierten \({\textbf{F}}\) sowie der rauschfreien Grundwahrheitsberechnung für die Anzahl der Photonen, Gl. (2).

Um eine XRD-Rekonstruktion durchzuführen (Schritt 4 im Bildgebungsworkflow), berechnen wir zunächst die Modellmatrix \({\mathbb{A}}\) mithilfe von Gleichung. (40). Das Ergebnis (eine Schicht) ist in Abb. 11 dargestellt. Diese Berechnung erfordert eine vorherige MECT-Rekonstruktion, die die photoelektrischen und Compton-Koeffizienten \((a_1, a_2)\) mit einer hohen räumlichen Auflösung liefert (siehe Abb. 1). Darüber hinaus verwenden wir \((a_1,a_2)\), um Rayleigh- und Compton-Streuung zu simulieren, die voraussichtlich auf die XRD-Detektoren fällt (siehe Abb. 8). Der simulierte Compton-Beitrag wird zur Korrektur von Verzerrungen verwendet, während der Rayleigh-Beitrag als Ausgangspunkt \({\textbf{F}}^{(0)}\) eines iterativen Rekonstruktionsschemas verwendet werden kann. Hier wenden wir den Lucy-Richardson-Algorithmus an, der zwar nicht immer schnell, aber robust gegenüber starkem Poisson-Rauschen ist:

In der obigen Gleichung sind das Sternsymbol (\(*\)) und die Divisionen punktweise Operationen, während das Punktsymbol (\(\cdot\)) das Matrix-Vektor-Produkt ist. Der Bias im Nenner ist die simulierte Compton-Streuung, die immer positiv ist, sodass wir nie eine Null im Nenner haben. Der Algorithmus ist multiplikativ, was garantiert, dass die Lösung nicht negativ bleibt. Jede Iteration reduziert garantiert die Poisson-Likelihood-Kostenfunktion, was für sehr niedrige Photonenzahlen geeignet ist. Normalerweise konvergiert die Lösung innerhalb weniger hundert Iterationen, und das ist viel schneller als der Aufbau der Matrix \({\mathbb{A}}\) selbst.

Zeigt einen 3D-Querschnitt der vollständigen 5D-Matrix \({\mathbb{A}}\). Beachten Sie, dass diese Koeffizienten auch von den verbleibenden zwei Dimensionen abhängen, dh vom Quelle-Detektor-Paar (hier wird nur ein einzelnes Paar gezeigt). Insbesondere gibt es für das unbekannte Material Nr. 3 bei anderen Paaren weitere Nicht-Null-Gewichte über 30 keV, die alle in der Rekonstruktion verwendet werden. Die Matrix \({\mathbb{A}}\) hängt nicht von der Art der Materialien ab. Die Identität der drei unbekannten Materialien wird erst nach Rekonstruktion und Fingerabdruck anhand der Datenbank bekannter Beugungsmuster enthüllt.

Der letzte Schritt im XRD-Bildgebungsworkflow besteht darin, die rekonstruierten Beugungsmuster mit einer Datenbank bekannter Materialien zu vergleichen (Schritt 5). Der Aufbau einer solchen Datenbank ist ein Zukunftsprojekt. Im Moment vergleichen wir nur unsere Rekonstruktionsergebnisse mit der anfänglichen Grundwahrheit, dargestellt auf linearen und logarithmischen Skalen (Abb. 12). Wie erwartet ist jede rekonstruierte Kurve im Wesentlichen eine Version der Grundwahrheit mit niedriger Auflösung. Im Moment prüfen wir es nur visuell auf linearen und logarithmischen Skalen und stellen eine qualitative Übereinstimmung fest. Wir haben keinen Gütefaktor (FOM) entwickelt, um den Grad zu quantifizieren, in dem ein rekonstruiertes Muster mit einem hochauflösenden Muster aus einer Datenbank übereinstimmt. Ein naives FOM wie die Summe quadratischer Fehler (entweder auf linearer oder logarithmischer Skala) ist für einen echten Scanner wahrscheinlich nicht robust genug. Beispielsweise kann ein Kalibrierungsfehler vorliegen, der das rekonstruierte Muster entlang der q-Achse verschiebt. In diesem Fall ist der quadratische Fehler hoch, obwohl das Gesamtmuster die richtige Form hat. Ein robusteres FOM könnte Earth Mover's Distance (Ref. 41) oder noch besser ein 1D-tiefes neuronales Netz (Ref. 42) sein, das auf echten Koffern trainiert wurde.

Rekonstruierte vs. Ground-Truth-Beugungsmuster. Cellulose ist ein amorphes Material, daher sind seine Beugungspeaks sehr breit und daher mit unserer niedrigauflösenden XRD-Tomographie leicht zu messen. Die anderen beiden Materialien sind ziemlich kristallin, etwa zehnmal höher als die Auflösung unseres Beispielscanners. Dennoch sind die drei Stoffe immer noch deutlich unterscheidbar. Insbesondere ein Material steht im Einklang mit einer bekannten Bedrohung (Ammoniumnitrat). Der Koffer kann somit zur manuellen Suche vorgemerkt werden. Auch andere gutartige Materialien könnten zu einer ähnlichen Rekonstruktion geführt haben (falsch positiv). Der Scanner ist jedoch immer noch ein nützliches Screening-Tool, da er die Notwendigkeit verringert, Koffer manuell zu durchsuchen, bei denen keines der rekonstruierten Muster mit bekannten Bedrohungen übereinstimmt. Die Rate falsch positiver Ergebnisse kann beispielsweise durch eine Verengung der Schlitzöffnung verringert werden, Gl. (37), was die Auflösung erhöht, aber den Fluss verringert, wodurch die Screening-Zeit verlängert wird.

Abgesehen vom Fingerabdruck führen wir eine Plausibilitätsprüfung des Ergebnisses von Gleichung durch. (47). Wir setzen das rekonstruierte \({\textbf{F}}\) wieder in Gleichung ein. (1) und zeichnen Sie das resultierende Produkt als rote Kreise in Abb. 10 auf. Wie erwartet ist das Ergebnis dem rauschfreien Vorwärtsmodell (schwarze gestrichelte Kurve) sehr ähnlich. Zusammenfassend haben wir in diesem Abschnitt (1) eine Vorwärtssimulation unter Verwendung von Ground-Truth-Daten aus der Literatur durchgeführt, (2) Poisson-Rauschen angewendet, (3) die verrauschte Messung mithilfe des Lucy-Richardson-Algorithmus invertiert und (4) das Ergebnis vorwärts projiziert und überprüft, ob es mit der ursprünglichen Simulation in Schritt 1 übereinstimmt. Die rekonstruierten Beugungsmuster ähneln der Grundwahrheit, haben jedoch erwartungsgemäß eine geringere Auflösung.

Wir haben diesen Artikel mit einer Literaturübersicht im Abschnitt „Literaturübersicht“ begonnen, die Dutzende experimenteller und realer Anwendungen für die XRD-Tomographie enthält. Es besteht kein Zweifel daran, dass die Idee, mehrere XRD-Muster aus großen Phantomen zu rekonstruieren, gültig ist und in der Praxis funktioniert. Aus der Literatur und intuitiv geht auch klar hervor, dass der Photonenfluss bei Geometrien mit geringerer Kollimation höher ist. Beachten Sie jedoch, dass die Beziehung zwischen Fluss und Rekonstruktionsqualität nicht linear ist. Aus der Poisson-Statistik43 wissen wir, dass der Rekonstruktionsfehler aufgrund von Schrotrauschen proportional zum umgekehrten Quadrat der Anzahl der detektierten Photonen ist, also \(1/\sqrt{N}\). Diese Funktion ist ziemlich flach, wenn N hoch ist, steigt aber mit \(N\rightarrow 0\) sehr steil an. Folglich ist bei sehr niedrigem Fluss jedes Photon wertvoll und eine geringfügige Erhöhung des Flusses führt zu einer deutlich besseren Messung.

Unser Hauptbeitrag bestand darin, zu zeigen, wie man XRD-Muster aus einem minimal kollimierten Scan rekonstruieren kann. Die numerische Qualität unserer Ergebnisse ist sehr gut, wie in Abb. 10 durch eine Übereinstimmung zwischen der Vorwärtsprojektion der Grundwahrheit (schwarze gestrichelte Kurve) und der Vorwärtsprojektion der rekonstruierten Daten (rote Kreise) belegt. Natürlich wird es in der Realität viele Artefakte geben, die die Rekonstruktionsqualität beeinträchtigen. Insbesondere unsere Schlüsselgleichung, Gl. (32) enthält vereinfachte theoretische Eingaben für die Größen des Brennflecks, der Voxeldicke und des Detektorpixels. Auch Gl. (12) verwendet eine theoretische SpekCalc-Simulation für das Quellenspektrum und geht von einer perfekten Detektoreffizienz aus. In Wirklichkeit müssen solche Eingaben für jeden beliebigen Scanner experimentell kalibriert werden, obwohl die funktionale Form unserer Gleichungen gültig bleiben sollte.

Die Auflösung unserer rekonstruierten XRD-Muster wird hauptsächlich durch die Energieempfindlichkeit der verfügbaren Röntgendetektoren begrenzt, siehe Gl. (11). Dieser Hardware-Parameter liegt außerhalb unserer Kontrolle, obwohl die Technologie Raum für Verbesserungen bietet, insbesondere wenn ein großer Markt wie die Flughafensicherheit danach verlangt. Ein weiterer wichtiger Parameter, den wir steuern können, ist die Schlitzöffnung \(\varphi _1-\varphi _2\), die die Voxeldicke bestimmt, Gl. (8). Diese Öffnung ist direkt proportional zum Photonenfluss, verschlechtert aber auch die Auflösung, Gl. (32), da der Hilfsvektor \({\textbf{V}}\) eine große Komponente entlang der z-Achse hat, siehe Abb. 7. Typische MECT-Scanner haben eine Öffnung von 1-2\(^\circ\ ), während typische XRD-Geräte eine Strahldivergenz haben, die näher bei \(0,02^{\circ }\)44 liegt. Hier haben wir einen vernünftigen Mittelwert von 0,5\(^\circ\) angenommen, obwohl dieser Parameter mit einem echten Scanner weiter abgestimmt werden muss.

Der von uns verwendete Rekonstruktionsalgorithmus, Gl. (47) ist recht allgemein gehalten und angesichts der besonderen Herausforderungen der XRD-Bildgebung möglicherweise alles andere als optimal. Insbesondere ist unser Modell ein lineares System von \({\mathcal{O}}(10^6)\)-Gleichungen (eine für jedes relevante Quellen-Detektor-Energie-Bin) und \({\mathcal{O}}( 10^3)\) Unbekannte, das sind die wenigen eindimensionalen Beugungsmuster. Auf den ersten Blick sieht dies wie ein stark überbestimmtes System aus und sollte daher leicht zu lösen sein. Die in den einzelnen Gleichungen enthaltenen Informationen überschneiden sich jedoch stark. Diese Redundanz ergibt sich aus der an sich geringen Auflösung. Darüber hinaus können die Photonenzahlen sehr niedrig sein, was zu vielen Messungen mit null Zählungen führt (die Ausgabe ist spärlich). Schließlich können die Beugungsmuster nicht einfach irgendeine zufällige Form annehmen, sodass aus den \({\mathcal{O}}(10^3)\) Unbekannten vielleicht nur \({\mathcal{O}}(10) \) sind wirklich unabhängig. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass wir aus einer Million Messungen ein Dutzend Freiheitsgrade rekonstruieren müssen, wobei wir voll und ganz damit rechnen müssen, dass diese Messungen eine schlechte Auflösung und ein hohes Rauschen aufweisen. Es handelt sich um ein komplexes Problem und könnte von fortschrittlicheren Rekonstruktionstechniken profitieren, darunter

kantenerhaltende und detailerhaltende Regularisierung,

Erzwingen der Sparsität auf einer geeigneten Basis (z. B. auf einer Wavelet-Basis),

Suche nach Beugungsmustern aus einem niedrigdimensionalen Funktionsraum (z. B. einem glatten Hintergrund plus ein paar Spitzen mit unbekannten Orten und Höhen),

Deep Learning, siehe Referenzen 45,46,47,48.

Viele der Herausforderungen, denen wir begegnet sind, beziehen sich nur auf die Flughafensicherheit. Es ist ein besonders anspruchsvoller Bereich für die Röntgenbildgebung, da die Größe, Form und Zusammensetzung der Materialien in Koffern enorm variieren. Auf der anderen Seite besteht großes Interesse an der XRD-Tomographie für andere Bereiche als die Flughafensicherheit, beispielsweise im Gesundheitswesen oder bei der Qualitätskontrolle in der Fertigung. Beispiele hierfür sind die Abbildung von Fehlern in Beton49 und Metallen50, insbesondere zur Qualitätskontrolle im 3D-Druck51. Während die Transmissionstomographie eine Auflösung von \({\mathcal{O}}(10^{-3}\,\hbox{m})\ hat, kann die Beugungstomographie Details im \({\mathcal{O}} (10^{-9}\,\hbox{m})\) Bereich. Durch Anpassen eines Molekülmodells an das rekonstruierte Beugungsmuster kann auf die Nanostruktur eines Materials geschlossen werden. Wenn wir beispielsweise einen Beugungspeak bei \(q=1\) Å−1 messen, besagt das Braggsche Gesetz, dass er einem Atomgitter mit einem Abstand von \(d=2\pi /q = 0,63\,\ entspricht. hbox{nm}\). Solche Informationen wurden verwendet, um die Nanostruktur von Knochen52 und Verkalkungen in Weichgeweben wie der menschlichen Brust53 aufzudecken.

Bei bestimmten Anwendungen wie den oben genannten gibt es nur eine kleine Anzahl beugender Materialien, die oft im Voraus bekannt sind. Darüber hinaus liefert die MECT-Modalität alle räumlichen Informationen (Standorte, Formen von Objekten) sowie einige Informationen zur Materialzusammensetzung (Dichte und durchschnittliche Ordnungszahl). Sehr oft besteht der Zweck einer Röntgenuntersuchung darin, eine einfache Ja/Nein-Frage zu beantworten (bedrohlich vs. gutartig, Krebs vs. gesund usw.). Wenn dies der Fall ist, besteht möglicherweise keine Notwendigkeit, die kostspielige und fehleranfällige XRD-Inversion durchzuführen, Gl. (47). Es könnte viel schneller und robuster sein, einfach Vorwärtssimulationen mit Gl. durchzuführen. (2) mit einer Liste bekannter Beugungsmuster \({\textbf{F}}\). Wir müssen dann nur noch prüfen, welche der möglichen Materialgruppen zu Daten führt, die der Messung \({\textbf{N}}\) am nächsten kommen. Selbst im schwierigen Fall der Flughafensicherheit gibt es nicht mehr als ein paar Dutzend Sprengstoffarten und eine Handvoll Drogenarten, die üblicherweise geschmuggelt werden. Wenn wir die Erkennungsgenauigkeit nur für einige der häufigsten Bedrohungen kostengünstig erhöhen könnten, würde das der Strafverfolgung enorm helfen.

In dieser Arbeit haben wir gezeigt, wie man mithilfe der XRD-Tomographie mehrere Materialien aus einem großen Phantom identifizieren kann. Der Aufbau ist im Wesentlichen derselbe wie beim Fächerstrahl-MECT, jedoch mit einem zusätzlichen Detektor auf einer (oder beiden) Seiten des Fächers. Nur gebeugte Photonen können diese Bereiche erreichen, und ohne einen Detektor würden die von ihnen getragenen Informationen verloren gehen. In diesem Design gibt es keine Kollimatoren, die über die für die Fächerstrahl-MECT erforderlichen hinausgehen, was zu dem höchstmöglichen XRD-Photonenfluss führt. Mit der Übertragung allein kann MECT nur zwei Zahlen pro Voxel liefern (den photoelektrischen und den Compton-Koeffizienten). Unsere Rekonstruktion ist zwar weit von der Qualität einer Labor-XRD für kleine Proben entfernt, liefert aber viel mehr Informationen als nur zwei Zahlen, siehe Abb. 12.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass ein XRD-Bildgebungs-Add-on zu bestehenden CT-Scannern machbar ist und gut positioniert ist, um einzigartige, materialspezifische Informationen zu liefern, und das zu geringen Kosten für die Installation eines oder zweier zusätzlicher Detektoren und die Entwicklung geeigneter Rekonstruktionssoftware.

Die im Rahmen der aktuellen Studie generierten Datensätze sind aufgrund gesetzlicher Beschränkungen nicht öffentlich zugänglich, können aber auf begründete Anfrage beim entsprechenden Autor angefordert werden.

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Alexander Katsevich von der University of Central Florida und der iTomography Corporation sowie Micheal Frenkel von der iTomography Corporation haben nützliche Vorschläge und Kommentare für einen ersten Entwurf dieses Artikels geliefert. William Thompson und Edward Morton von Rapiscan Systems haben Teile der im Rahmen dieser Forschung entwickelten GPU-Software überprüft und nützliches Feedback dazu gegeben. Wir bedanken uns für Diskussionen über Röntgenbildgebungstechnologie mit Anders Priest und Jacob Conn von Rapiscan Systems. Wir bedanken uns für die nützliche Korrespondenz mit Theyencheri Narayanan vom ESRF zur SAXS- und WAXS-Datenkalibrierung.

Diese Forschung wurde zum Teil vom US-Heimatschutzministerium, der Direktion für Wissenschaft und Technologie im Rahmen eines im Wettbewerb vergebenen Vertrags finanziert: 70-RSAT-18-C-B0000047. Diese Unterstützung stellt keine ausdrückliche oder stillschweigende Billigung seitens der Regierung dar. Der in dieser Forschung verwendete Titan V wurde von der NVIDIA Corporation gespendet.

iTomography Corporation, Houston, TX, 77021, USA

Airidas Korolkov

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AK führte die Forschung durch, leitete die Gleichungen ab, entwickelte die CUDA-Software, erhielt die Ergebnisse und schrieb den Artikel.

Korrespondenz mit Airidas Korolkovas.

Der Autor gibt keine Interessenkonflikte an.

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Nachdrucke und Genehmigungen

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Eingegangen: 06. Juli 2022

Angenommen: 31. Oktober 2022

Veröffentlicht: 09. November 2022

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-022-23396-2

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